Fractales y Aplicaciones en Ciencias del Suelo y Medioambientales
Nuestro grupo realiza una investigación multidisciplinar de amplio espectro, focalizada en problemas concretos de las Ciencias del Suelo. Los objetivos centrales de nuestra investigación son por un lado el desarrollo teórico de herramientas matemáticas capaces de describir estructuras, y procesos de medios o sistemas con alto nivel de complejidad/heterogeneidad y, por otro, la aplicación de dichos desarrollos al análisis, parametrización y modelización de la estructura del suelo, sus propiedades hidráulicas y el transporte de contaminantes. Se concibe como un proyecto global que abarca el diseño y realización de experimentos, la obtención de datos, la construcción y el testado de modelos así como el estudio teórico de modelos y algoritmos matemáticos de simulación. Este tipo de investigación, por su propia naturaleza, se bifurca puntualmente conectando con objetivos de investigación de otras áreas como las ciencias medioambientales, la física de medios porosos, la biología,…y un largo etcétera.
Sinopsis: Con más de cuarenta años ya, la geometría fractal nos ha convencido no solo de su interés matemático en sí, sino de la conveniencia de su uso para describir adecuadamente la naturaleza en muchas de sus facetas inexploradas. Se ha convertido en una lingua franca para científicos de disciplinas muy diferentes preocupados por la relación dinámica entre la forma y la función.
Fractales: la nueva geometría de la Naturaleza.
En los años sesenta B. Mandelbrot recopiló un bestiario de monstruos geométricos y procesos naturales bajo un marco global que denominó fractales. Un ejemplo de fractal es la curva creada en 1904 por el matemático sueco N. F. H. von Koch (figura 1). Como observará el lector, partiendo de un sencillo motivo inicial, la curva se alcanza tras un proceso de iteraciones sucesivas. En realidad tras infinitas iteraciones. La curva de Kock exhibe claramente un concepto clave en los fractales: es autosimilar. Toda la información geométrica de la figura está contenida en cualquier trozo por minúsculo que sea. Es fácil comprobar que en el límite infinito de esta construcción, su longitud diverge. ¡De hecho la distancia entre cualquiera de sus puntos es infinita! Para acabar de retar nuestra intuición geométrica, esta curva es continua en todos sus puntos y no derivable en ninguno de ellos. Es decir, somos incapaces de determinar la tangente en ninguno de sus puntos. B. Mandelbrot estuvo acertado al escoger el nombre de fractal para estas criaturas geométricas: la palabra latina fractus significa quebrado.
Otras corrientes de conocimiento ampliaron el caudal fractal. El estudio de sencillas ecuaciones iteradas no lineales en el plano complejo, en combinación con los ordenadores, nos ha mostrado las figuras geométricas más complejas creadas por la mente humana. El conjunto de Mandelbrot (figura 2) es la bandera de estos representantes de la autosimilaridad no lineal. Desde la informática teórica A. Lindenmayer desarrolló los L-Sytems. Propuso utilizar gramáticas para desarrollar una axiomática del proceso de desarrollo en organismos pluricelulares. En 1984 A. R. Smith utilizó los L-system como herramienta para la síntesis realista de plantas y estudió su relación con los fractales. Un L-system es básicamente un conjunto de reglas que se aplican secuencialmente sobre una sentencia inicial. Partiendo de una cadena de símbolos se generan sucesivamente cadenas más y más largas. Si estos símbolos se interpretan gráficamente obtenemos, con una economía descriptiva sorprendente, fractales como el arbusto de la figura 3. Su potencia reside en la recurrencia, prima hermana de la iteración. En los años setenta la física descubrió el caos determinista. Sistemas deterministas pueden generar dinámicas impredictibles. Cuando los físicos y matemáticos representaron la dinámica de semejantes sistemas en forma geométrica se toparon con exóticas figuras. La figura 4 con forma de mariposa es el conocido atractor de Lorenz. Tan raras les resultaron estas estructuras a sus descubridores que las denominaron atractores extraños. Eran, ni más ni menos, que fractales. El estudio topológico de los mismos ha generado un avance teórico enorme en sistemas dinámicos. En los ochenta Barnsley popularizo una ingeniosa manera de generar fractales a partir de la aplicación iterada de contracciones afines: los denominados sistemas de funciones iteradas (iterated function systems, IFS). La sencilla aplicación de rotaciones, contracciones, inversiones y traslaciones permite generar una enorme gama de fractales, como el famoso helecho de la figura 5. Los IFS se han aplicado en compresión de imágenes y son utilizados, como los L-systems, por ciberartistas como herramienta de generación de imágenes virtuales.
Las construcciones presentadas por Mandelbrot habían sido propuestas por muchos matemáticos de principios de siglo XX como ejemplos paradójicos en la discusión de conceptos como curva o dimensión. Tanto los L-systems como los IFS son métodos para generar fractales. Y a pesar de que los atractores extraños surgen de dinámicas que modelan sistemas reales, aparecen en el abstracto espacio de fases. Raramente conceptos tan abstractos se hacen tan populares como los fractales, ¿qué ha ocurrido entonces? Que la Naturaleza estaba plagada de ellos y habíamos permanecido ciegos a su existencia. El ejemplo discutido por Mandelbrot en su trabajo seminal es inevitable para ilustrar este hecho. Preguntémonos cuál es la longitud de una costa. La medida dependerá de su resolución. Si utilizamos una barra de 1 Km. nuestro valor será inferior al obtenido con una vara de 1 m. De hecho, cada vez que disminuimos nuestra vara de medida obtenemos una distancia mayor porque accedemos a más y más detalles previamente obviados. Pero entonces, ¿cuánto mide la costa? La pregunta así formulada es incorrecta pues depende de nuestra resolución de medida. Sin embargo, podemos caracterizar la costa por su dimensión fractal. Basta con que representemos en una gráfica log-log los valores de nuestras medidas de longitud de costa para distintas resoluciones. En un determinado rango obtenemos una línea recta como función. La pendiente de esa recta caracteriza a la costa y la distingue de otras. Esto es así porque las costas terrestres presentan autosimilaridad. Desde luego no en la forma estricta de la curva de Kock, sino estadísticamente y limitada por una escala superior e inferior. La naturaleza presenta multitud de sistemas para los que no podemos definir una escala característica, es decir, asociarles una vara de medir; como en el caso de las nubes o los cráteres de la Luna. O estructuras donde el mismo proceso dinámico opera a muchas escalas como la ramificación en los árboles o nuestro sistema circulatorio. O distribuciones potenciales de tamaños como en el caso de las intensidades de los terremotos o la ley de Zipf en el lenguaje. O series temporales autosimilares, donde un intervalo de un día se asemeja al de un año, como en la bolsa o la transmisión de datos en Internet. Todos estos fenómenos se analizan ahora bajo la óptica fractal, un lenguaje común para científicos de disciplinas tradicionalmente alejadas, una lingua franca para la búsqueda de principios organizadores.
Bajo la hipótesis de que la superficie del terreno conserva sus propiedades estadísticas en un amplio rango de escalas, Luca y col. (1996), desarrollan una técnica de caracterización basada en la aplicación de los fractales a un análisis multirresolución de los MDET. La idea básica es utilizar estas técnicas fractales para determinar la rugosidad local del terreno y comparar los histogramas de distribución de rugosidad y los valores medios obtenidos por un método puramente fractal basado en el movimiento browniano (fBm) y por las wavelets, dado que éstas también “ven” los datos a distintas resoluciones.
La determinación de la dimensión mediante el método fractal del espectro de potencia (power spectrum method) da valores más exactos, pero la aproximación por wavelets da una aproximación más uniforme con mucha menor varianza. Esta posibilidad de determinar la rugosidad permite segmentar, de manera automática, el DEM en partes con comportamientos distintos. De hecho, comentan un algoritmo de clasificación no supervisada desarrollado por Narendra y Golberg (1977) que calcula el histograma de rugosidad del DEM y luego determina clases dentro del mismo buscando los máximos locales existentes en el histograma.
También con base wavelet, pero en este caso sobre el uso de triángulos, y por tanto con mucha similitud a los métodos que se presentarán en el apartado dedicado a los RTI, Gerstner y Hannappel (2000) proponen un método de triangulación recursiva por bisección de MDET basados en RR. La agregación de los triángulos (o el detalle), se controla por un índice de error. Este método está relacionado con la triangulación de las hojas de un quadtree, si embargo las bisecciones recursivas son más flexibles dado que generan el doble de niveles. Tras la definición de una métrica y de un error por la aproximación realizada por los triángulos, el proceso de generalización se desarrolla mediante la eliminación de los coeficientes wavelets de menor peso.
Grupo de Investigación PEDOFRACT
ResponderEliminarFractales y Aplicaciones en Ciencias del Suelo y Medioambientales
Nuestro grupo realiza una investigación multidisciplinar de amplio espectro, focalizada en problemas concretos de las Ciencias del Suelo. Los objetivos centrales de nuestra investigación son por un lado el desarrollo teórico de herramientas matemáticas capaces de describir estructuras, y procesos de medios o sistemas con alto nivel de complejidad/heterogeneidad y, por otro, la aplicación de dichos desarrollos al análisis, parametrización y modelización de la estructura del suelo, sus propiedades hidráulicas y el transporte de contaminantes. Se concibe como un proyecto global que abarca el diseño y realización de experimentos, la obtención de datos, la construcción y el testado de modelos así como el estudio teórico de modelos y algoritmos matemáticos de simulación. Este tipo de investigación, por su propia naturaleza, se bifurca puntualmente conectando con objetivos de investigación de otras áreas como las ciencias medioambientales, la física de medios porosos, la biología,…y un largo etcétera.
http://www.etsia.upm.es/gruposinv/pedofract/index.htm
Sinopsis:
ResponderEliminarCon más de cuarenta años ya, la geometría fractal nos ha convencido no solo de su interés matemático en sí, sino de la conveniencia de su uso para describir adecuadamente la naturaleza en muchas de sus facetas inexploradas. Se ha convertido en una lingua franca para científicos de disciplinas muy diferentes preocupados por la relación dinámica entre la forma y la función.
Fractales: la nueva geometría de la Naturaleza.
En los años sesenta B. Mandelbrot recopiló un bestiario de monstruos geométricos y procesos naturales bajo un marco global que denominó fractales. Un ejemplo de fractal es la curva creada en 1904 por el matemático sueco N. F. H. von Koch (figura 1). Como observará el lector, partiendo de un sencillo motivo inicial, la curva se alcanza tras un proceso de iteraciones sucesivas. En realidad tras infinitas iteraciones. La curva de Kock exhibe claramente un concepto clave en los fractales: es autosimilar. Toda la información geométrica de la figura está contenida en cualquier trozo por minúsculo que sea. Es fácil comprobar que en el límite infinito de esta construcción, su longitud diverge. ¡De hecho la distancia entre cualquiera de sus puntos es infinita! Para acabar de retar nuestra intuición geométrica, esta curva es continua en todos sus puntos y no derivable en ninguno de ellos. Es decir, somos incapaces de determinar la tangente en ninguno de sus puntos. B. Mandelbrot estuvo acertado al escoger el nombre de fractal para estas criaturas geométricas: la palabra latina fractus significa quebrado.
Otras corrientes de conocimiento ampliaron el caudal fractal. El estudio de sencillas ecuaciones iteradas no lineales en el plano complejo, en combinación con los ordenadores, nos ha mostrado las figuras geométricas más complejas creadas por la mente humana. El conjunto de Mandelbrot (figura 2) es la bandera de estos representantes de la autosimilaridad no lineal. Desde la informática teórica A. Lindenmayer desarrolló los L-Sytems. Propuso utilizar gramáticas para desarrollar una axiomática del proceso de desarrollo en organismos pluricelulares. En 1984 A. R. Smith utilizó los L-system como herramienta para la síntesis realista de plantas y estudió su relación con los fractales. Un L-system es básicamente un conjunto de reglas que se aplican secuencialmente sobre una sentencia inicial. Partiendo de una cadena de símbolos se generan sucesivamente cadenas más y más largas. Si estos símbolos se interpretan gráficamente obtenemos, con una economía descriptiva sorprendente, fractales como el arbusto de la figura 3. Su potencia reside en la recurrencia, prima hermana de la iteración. En los años setenta la física descubrió el caos determinista. Sistemas deterministas pueden generar dinámicas impredictibles. Cuando los físicos y matemáticos representaron la dinámica de semejantes sistemas en forma geométrica se toparon con exóticas figuras. La figura 4 con forma de mariposa es el conocido atractor de Lorenz. Tan raras les resultaron estas estructuras a sus descubridores que las denominaron atractores extraños. Eran, ni más ni menos, que fractales. El estudio topológico de los mismos ha generado un avance teórico enorme en sistemas dinámicos.
En los ochenta Barnsley popularizo una ingeniosa manera de generar fractales a partir de la aplicación iterada de contracciones afines: los denominados sistemas de funciones iteradas (iterated function systems, IFS). La sencilla aplicación de rotaciones, contracciones, inversiones y traslaciones permite generar una enorme gama de fractales, como el famoso helecho de la figura 5. Los IFS se han aplicado en compresión de imágenes y son utilizados, como los L-systems, por ciberartistas como herramienta de generación de imágenes virtuales.
Las construcciones presentadas por Mandelbrot habían sido propuestas por muchos matemáticos de principios de siglo XX como ejemplos paradójicos en la discusión de conceptos como curva o dimensión. Tanto los L-systems como los IFS son métodos para generar fractales. Y a pesar de que los atractores extraños surgen de dinámicas que modelan sistemas reales, aparecen en el abstracto espacio de fases. Raramente conceptos tan abstractos se hacen tan populares como los fractales, ¿qué ha ocurrido entonces? Que la Naturaleza estaba plagada de ellos y habíamos permanecido ciegos a su existencia. El ejemplo discutido por Mandelbrot en su trabajo seminal es inevitable para ilustrar este hecho. Preguntémonos cuál es la longitud de una costa. La medida dependerá de su resolución. Si utilizamos una barra de 1 Km. nuestro valor será inferior al obtenido con una vara de 1 m. De hecho, cada vez que disminuimos nuestra vara de medida obtenemos una distancia mayor porque accedemos a más y más detalles previamente obviados. Pero entonces, ¿cuánto mide la costa? La pregunta así formulada es incorrecta pues depende de nuestra resolución de medida. Sin embargo, podemos caracterizar la costa por su dimensión fractal. Basta con que representemos en una gráfica log-log los valores de nuestras medidas de longitud de costa para distintas resoluciones. En un determinado rango obtenemos una línea recta como función. La pendiente de esa recta caracteriza a la costa y la distingue de otras. Esto es así porque las costas terrestres presentan autosimilaridad. Desde luego no en la forma estricta de la curva de Kock, sino estadísticamente y limitada por una escala superior e inferior. La naturaleza presenta multitud de sistemas para los que no podemos definir una escala característica, es decir, asociarles una vara de medir; como en el caso de las nubes o los cráteres de la Luna. O estructuras donde el mismo proceso dinámico opera a muchas escalas como la ramificación en los árboles o nuestro sistema circulatorio. O distribuciones potenciales de tamaños como en el caso de las intensidades de los terremotos o la ley de Zipf en el lenguaje. O series temporales autosimilares, donde un intervalo de un día se asemeja al de un año, como en la bolsa o la transmisión de datos en Internet. Todos estos fenómenos se analizan ahora bajo la óptica fractal, un lenguaje común para científicos de disciplinas tradicionalmente alejadas, una lingua franca para la búsqueda de principios organizadores.
Bajo la hipótesis de que la superficie del terreno conserva sus propiedades estadísticas en un amplio rango de escalas, Luca y col. (1996), desarrollan una técnica de caracterización basada en la aplicación de los fractales a un análisis multirresolución de los MDET. La idea básica es utilizar estas técnicas fractales para determinar la rugosidad local del terreno y comparar los histogramas de distribución de rugosidad y los valores medios obtenidos por un método puramente fractal basado en el movimiento browniano (fBm) y por las wavelets, dado que éstas también “ven” los datos a distintas resoluciones.
ResponderEliminarLa determinación de la dimensión mediante el método fractal del espectro de potencia (power spectrum method) da valores más exactos, pero la aproximación por wavelets da una aproximación más uniforme con mucha menor varianza. Esta posibilidad de determinar la rugosidad permite segmentar, de manera automática, el DEM en partes con comportamientos distintos. De hecho, comentan un algoritmo de clasificación no supervisada desarrollado por Narendra y Golberg (1977) que calcula el histograma de rugosidad del DEM y luego determina clases dentro del mismo buscando los máximos locales existentes en el histograma.
También con base wavelet, pero en este caso sobre el uso de triángulos, y por tanto con mucha similitud a los métodos que se presentarán en el apartado dedicado a los RTI, Gerstner y Hannappel (2000) proponen un método de triangulación recursiva por bisección de MDET basados en RR. La agregación de los triángulos (o el detalle), se controla por un índice de error. Este método está relacionado con la triangulación de las hojas de un quadtree, si embargo las bisecciones recursivas son más flexibles dado que generan el doble de niveles. Tras la definición de una métrica y de un error por la aproximación realizada por los triángulos, el proceso de generalización se desarrolla mediante la eliminación de los coeficientes wavelets de menor peso.
http://www.mappinginteractivo.com/